1. Énoncer clairement les théorèmes suivants.
a. Théorème des valeurs intermédiaires.
b. Théorème de la bijection.
c. Théorème de l'inégalité des accroissements finis $(TIAF)$
Déterminer les limites suivantes :
a. $\lim\limits_{x\longrightarrow 3}\dfrac{\sqrt{x+6}-3}{\sqrt{x+1}-2}$
1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et inéquations suivantes :
A : $x^{3}+6x-7=0$ ;
B : $\sqrt{111-x}=x-5$ ;
C : $\sqrt{111-x^{3}-6x}=x^{3}+6x-5$
D : $\sqrt{x+2}\leq x$
2. Résoudre par la méthode de pivot de Gauss le système suivant :
a. Si $f$ est $\ldots\ldots$ sur un intervalle $[a\;,b]$ et s'il existe de réels $m$ et $M$ tels que $\forall x\in[a\;,b]$, $m\leq f'(x)\leq M$ alors $m(\ldots)\leq f(b)-f(a)\leq\ldots$
On considère la fonction polynôme ݂ définie pour tout réel $f$ par : $f(x)=2x^{3}-3x^{2}-1$
1. Étudier les variations de
2. Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique ߙ dans $\mathbb{R}$ telle que :$ 1,6<\alpha<1.7$
3. En déduire le signe de $f(x)$ sur $\mathbb{R}$
1. Soient $z$ et $z'$ deux nombres complexes non nuls.
Compléter les propriétés sur les modules et arguments suivants :
a. $\left|2^{2}\right|=\ldots\;,n$ un entier naturel ;
c. Si $z'$ est non nul, alors $\left|\dfrac{x}{x'}\right|=\ldots$
b. $arg\left(z^{n}\right)=\ldots\;,n$ un entier naturel ;
Exercice 1 :
On considère dans l'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes, l'équation $(E)$ :
$z^{3}-\left(1+2\mathrm{i}\right)z^{2}+3\left(1+\mathrm{i}\right)z-10\left(1+\mathrm{i}\right)=0$
1. a. Déterminer les racines carrées du complexe $Z=5-12\mathrm{i}$
b. Montrer que $(E)$ admet une solution imaginaire que l'on déterminera.
c. Déterminer $\alpha$ et $b$ tels que :
Soit le complexe $\alpha=-1-\vec{i}$ et $\left(?_{?}\right)_{n\in\mathbb{N}}$ la suite de nombres complexes définie par :
$\left\lbrace\begin{array}{rcl} ?_{0}&=&0 ???_{1}=?\\ ?_{?+1}&=&(1-?)?_{?}+??_{?-1} \end{array}\right.$
1. Déterminer $?_{2}$ et $?_{3}$ sous forme algébrique.
1. Étudier suivant les valeurs de l'entier naturel $n$ le reste de la division euclidienne de $5^{n}$par $7$
2. Pour tout entier naturel $n$ on pose $S_{n}=1+5+5^{2}+\ldots+5^{n}$
Le plan est rapporté au repère orthonormé direct $\left(O\;,\vec{i}\;,\vec{j}\right)$
I. On appelle $T$ l'application du plan dans lui-même qui au point $M(x\;,y)$ associe le point $M'\left(x^{'}\;,y^{'}\right)$ tel que : $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x'&=&x+y\\ y'&=&-x+y-1\end{array}\right.$
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $\left(O\;,\vec{u}\;,\vec{v}\right)$
1.a. Calculer le module et un argument de $1+i\sqrt{3}$
b. En déduire la forme algébrique de : $\left(1+i\sqrt{3}\right)$
2. On considère le polynôme $P$ défini par :