On considère le polynôme $P$ définie par : $P(x)=2x^{3}-9x^{2}+3x+4$
1. Quel est le degré de $P$ ?
2. Montrer que $1$ est une racine de $P$
3. Déterminer le degré du polynôme $Q$ tel que $P(x)=(x-1)Q(x)$
4. Factoriser $P(x)$
5.Montrer que la factorisation complète de $P$ est : $P(x)=(2x+1)(x-1)(x-4)$
On donne le polynôme $P(x)=2x^{3}+ax^{2}+bx+c$ où $a$, $b$ et $c$ sont réels.
1. Comment appelle-t-on les réels $a$, $b$ et $c$ ?
2. Sachant que $1$ est une racine de $P$, montrer que : $a+b+c=-2$
3. On donner $P(2)=-10$ et $P(-1)=-10$
ACTIVITÉS NUMÉRIQUES
PARTIE A :
Soient $\displaystyle a = 1 - \frac{2}{3}\sqrt{3}$, $\quad$ $\displaystyle b = \frac{5}{6}\sqrt{\frac{18}{25}} - \sqrt{1}$, $\quad$ $\displaystyle c = 1 - \sqrt{16} - \sqrt{12}$
Compléter les phrases suivantes
1. Si $a$ est racine d'un polynôme $P(x)$ alors $P(x)$ est factorisable par $x\ldots$
2. La forme factorisée d'un trinôme du second degré $ax^{2}+bx+c$
2. dont les racines sont $x_{1}$ et $x_{2}$ est $\ldots$
3. Si $a$ est une racine d'un polynôme de degré $4$
1. Répondre par vrai ou faux
a. Si $a$ racine d'un polynôme $P(x)$ alors $P(0)=a$
b. Si $-1$ est une racine d'un polynôme alors on peut trouver un polynôme $Q(x)$ tel que $P(x)=(x-1)\times Q(x)$
c. L'expression $\sqrt{3}x^{3}$ est un monôme
2. Choisissez la bonne réponse.
a. Une racine de $p(x)=x^{3}-6x^{2}+2x+12$ est :
Pour chacune des propositions suivantes, choisis la bonne réponse en écrivant le numéro de la proposition suivi de la lettre indiquant la réponse choisie sur ta copie.
pour chaque réponse juste).
PARTIE A : Soient
\[
a = 1 - \frac{2}{3} \sqrt{3}, \quad
b = \frac{5}{6} \sqrt{\frac{49}{25}} - \sqrt{1}, \quad
c = 1 - \sqrt{16} - \sqrt{12}.
\]
1. Simplifie \( b \) et \( c \) (0,5point+0,5point)
2. Montre que \( a = -b \) (0,5point)
3. Montre que \( a = \frac{1}{c} \). Déduis-en que \( a^2 = \frac{a}{c} \) (0,5point+0,5point)
4. Montre \( d = b \times c + 1 \). (0,5point)
PARTIE B
Pour chaque énoncé trois réponses $A$, $B$ et $C$ sont proposées dont une seule, est exacte.
Pour répondre, écris le numéro de l'énoncé suivi de la lettre correspondant à la réponse choisie.
Une bonne réponse est notée $0.75$ point.
Une réponse fausse ou absence de réponse sont
notées $0$
A. Écris le numéro et la lettre correspondant à la bonne réponse : Exemple :
1. L'expression $F=\dfrac{\dfrac{4}{3}}{\dfrac{7}{2}}$ est égal à :
a. $\dfrac{28}{6}$ ;
b. $\dfrac{21}{8}$ ;
c. $\dfrac{8}{21}$
2. L'inverse du rationnel $\dfrac{2}{7}$ est :
a. $-\dfrac{2}{7}$ ;
A. Soient $a$ et $b$ deux nombres rationnels non nuls.
Remplace les pointillés par ce qui convient.
1. Si $a\times b=1$ alors $a$ et $b$ sont $\ldots\ldots\ldots$
2. Le développement de $(a-b)(a+b)$ est $\ldots\ldots\ldots$
3. La factorisation de $a^{2}+2ab+b^{2}$ est $\ldots\ldots\ldots$